Вопрос от пользователя: Порфирий
В прямокутний трикутник вписано коло з радіусом 4 см. Точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки, довжини яких відносяться як 10 : 3. Знайдіть сторони трикутника.
Ответ: Димитриан
1) гипотенуза делится на 2 отрезка: 10 х и 3 х (х длина одной части гипотенузы); 2) из одной вершины треугольника две касательные равные: 3 х; из второй вершины две касательные равные: 10 х; из третьей вершины две касательные равные: у; 3) гипотенуза равна 3 х+10 х=13 х; один катет равен 3 х+у; второй катет равен 10 х+у; 4) радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле: r = (a+b-c) / 2; 5) подставим наши значения: 4 = (3 х+у+10 х+у-13 х) / 2; 2 у=8; у=4; 5) значит, один катет равен 3 х+4; второй катет равен 10 х+4; по теореме Пифагора: (13 х) ^2 = (3 х+4) ^2 + (10 х+4) ^2; 169 х^2=9 х^2+24 х+16+100 х^2+80 х+16; 15 х^2-26 х-8=0; х=2; х=-4/15 (отрицательный корень нам не нужен); 6) гипотенуза равна: 13 х=13*2=26; один катет равен: 3 х+4=3*2+4=10; второй катет равен: 10 х+4=10*2+4=24; ответ: 10; 24; 26
