Вопрос от пользователя: Митраша
При каких значениях параметра q один из корней уравнения 4 х квадрат — (3+2q) х + 2 = 0 в 8 раз меньше другого?
Ответ: Грунятка
Задача сводится к теореме Виета.
То, что данное уравнение является квадратным, я думаю, не вызывает сомнений. Но нас смущает то, что при x² стоит 4, разделим почленно уравнение на неё (я буду писать по частям):
x² — (3+2q) / 4 * x + 0.5 = 0
Теперь воспользуемся теоремой Виета. Пусть x1 и x2 — корни. Тогда по теореме Виета, x1 + x2 = (3 + 2q) / 4, x1 * x2 = 0.5. Учитывая условие задачи, получаем, что x2/x1 = 8. Таким образом, мы пришли к системе уравнений:
x1 + x2 = (3 + 2q) / 4
x1 * x2 = 0.5
x2/x1 = 8
Теперь как решать будем систему. Система с тремя уравнениями с тремя переменными — она имеет решения. Решать по идее надо бы с помощью метода Гаусса, но здесь можно и проще — через пару минут напишу решение.
Решаем систему способом подстановки. Выразим из последнего уравнения x2:
x2 = 8×1
и подставим его во второе уравнение системы. Решим полученное уравнение и найдём x1:
8×1² = 1/2
x1² = 1/16
x1 = 1/4 или x1 = — 1/4
Теперь рассмотрим оба случая, когда x1 = 1/4 и когда x1 = — 1/4
Пусть x1 = 1/4, тогда последовательно находим x2 и q:
x2 = 8 * 1/4 = 2
(3 + 2q) / 4 = 2 + 1/4 = 9/4
Знаменатели равны, дроби равны, значит опускаем числители и приравниваем их:
3 + 2q = 9
2q = 6
q = 3
Первое значение параметра q мы нашли. Но надо проверить, дейсвительно q = 3 нам подходит. Сделаем это, корни мы тоже при этом значении параметра параллельно нашли, найдём отношение корней:
x1 = 1/4; x2 = 2
x2/x1 = 2 : 1/4 = 2 * 4 = 8 — да, q = 3 нам подходит.
Теперь рассмотрим ту ситуацию, когда x1 = — 1/4. Аналогично,
x2 = 8 * (-1/4) = — 2
(3 + 2q) / 4 = — 1/4 — 2 = — 9/4
3 + 2q = — 9
2q = — 12
q = — 6
Осуществим уже известную проверку, мало ли что. Корни при этом значении параметра мы уже нашли из системы, значит проверяем:
x1 = — 1/4; x2 = — 2
x2/x1 = 8 — это случай нам тоже подходит
Таким образом, при q = 3 и q = — 6 отношение корней данного уравнения равно 8. задача выполнена.
