Чтобы выбрать, какой вариант «без спроса» или «без спросу» является более предпочтительным, определим часть речи и форму слова.
Слова «без спроса» и «без спросу» употребляются в речи в равной мере Вечерами не гуляли, громких разговоров не вели, по дорогам лесным предпочитали не ездить, а коли нужда возникала, шли тихо, словно без спроса по чужой земле пробирались (Сергей Фомичёв. Сон Ястреба. Мещёрский цикл). В этом отрывке автор употребил неизменяемое слово, которое поясняет глагол, обозначает признак действия и отвечает на обстоятельственный вопрос: Эти грамматические признаки ясно указывают, что анализируемое слово является знаменательным наречием, которое по форме напоминает неодушевленное существительное мужского рода «спрос» в форме родительного падежа единственного числа. Приказчики продавали все что угодно, за исключением продовольствия, а именно на него и был спрос (Джек Лондон. Дочь снегов). Понаблюдаем, как изменяется по падежам это существительное в формах единственного числа: В форме родительного падежа многие существительные с предлогом «без», указывающим на отсутствие чего-либо, имеют вариативные формы с окончанием -а, более присущие литературной речи, и с окончанием -у, имеющие разговорный стилистический характер, например: Во фразеологических сочетаниях, в устойчивых выражениях существительные, послужившие образованию наречий, часто употребляются с окончанием -у: Разговорные наречия «без спроса» и «без спросу», имеющие значение «без разрешения», «самовольно», употребляется в равной мере в контекстах. Например: Он без спроса берет спички, несмотря на то, что вы запрещаете ему это делать, пытается разжечь костёр, а когда вы застаете его на «месте преступления», он всё отрицает (Л. Н. Славгородская. Энциклопедия воспитания и обучения ребёнка). В другой раз будешь знать, как без спросу кнопочки трогать! (Н. Н. Носов. Незнайка на Луне).
Часть речи слова «без спроса»