Вопрос от пользователя: Лавра
найдите наименьшее значение выражения (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2 и значения х и у, при которых оно достигается
Ответ: Ириша
f (x, y) = (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2
Найдем частные производные
df/dx=2 (2x+y+3) * 2+2 (3x-2y+8) * 3=8x+4y+12+18x-12y+48=26x-8y+60
df/dy=2 (2x+y+3) * 1+2 (3x-2y+8) * (-2) = 4x+2y+6-12x+8y-32=-8x+10y-26
И приравняем их к нулю
26x-8y+60=0
-8x+10y-26=0
Первое уравнение умножим на 10, а второе на 8
260x-80y+600=0
-64x+80x-208=0
Сложим оба уравнения
196x+392=0
x=2
Определим y
26x-8y+60=0 = >26*2-8y+60=0 = >8y=8 = >y=1
Точка М (x; y) = M (2; 1) — Стационарная
Найдем вторые производные
A=d^2xdx^2=26
B=d^2x/dxdy=-8
C=d^2y/dy^2=10
Дискриминант = AC-B^2=260-64=196>0
То есть Дискриминант >0 и А>0, значит точка М (2; 1) — точка минимума
В этой точке функция f (x; y) принимает значение
f (x, y) = (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2 = (2*2+1+3) ^2 + (3*2-2*1+8) ^2=8^2 + (12) ^2=64+144=208
