Вопрос от пользователя: Игнат
Периметр выпуклого многоугольника, описанного около окружности радиуса 10 см, равен 72 см. Найдите площадь этого многоугольника
Ответ: Флоренция
Существует формула вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности, которая выглядит так:
r=S/p, где
S — площадь многоугольника, а p — полупериметр многоугольника, который в нашем случае равен
p=72:2=36 см
Подставляем в формулу и находим площадь
10=S/36
S=10*36=360 см².
Формулу отыскания площади многоугольника можно вывести простым логическим рассуждением:
пусть r — радиус вписанной окружности, а₁, а₂, а₃ … а (n) — стороны многоугольника, которые также являются касательными к окружности, т. е. радиус перпендикулярен стороне многоугольника. Соединим центр окружности и вершины многоугольника, получим n треугольников, площадь каждого из которых s₁ = (1/2) * a₁*r
s₂ = (1/2) * a₂*r
…
s (n) = (1/2) * a (n) * r
Площадь многоугольника равна сумме площадей полученных треугольников
S=s₁+s₂ + … + s (n) = (1/2) * a₁*r + (1/2) * a₂*r + … + (1/2) * a (n) * r = (1/2) * r * (a₁+a₂ + … + a (n))
a₁+a₂ + … + a (n) и есть периметр многоугольника, поэтому можно записать
S = (1/2) * r*P=r*p
