В окончании формы творительного падежа существительного «монтажом» под ударением после шипящего пишется буква «о» согласно орфографическому правилу русского языка.
Отец с утра занялся монтажом кухонной мебели.
Занялся (чем?) «монтажом» или «монтажём»?
Французское по происхождению слово «монтаж», заканчивающееся шипящим согласным, обозначает сборку, соединение деталей, монтирование чего-либо.
Правописание слова «монтажом»
Чтобы выбрать правильный вариант написания, предпримем несколько необходимых шагов:
Понаблюдаем, как изменяется это неодушевленное существительное единственного числа мужского рода второго склонения по падежам:
- и.п. что? монтаж
- р.п. сроки чего? монтажа́
- д.п. действия по чему? по монтажу́
- в.п. произвожу что? монтаж
- т.п. интересуюсь чем? монтажо́м
- п.п. при чём? при монтаже́
Обратим внимание, что падежные окончания являются ударными.
Рассматриваемое слово имеет следующий морфемный состав:
монтажо́м — корень/окончание

Воспользуемся в написании интересующей нас словоформы творительного падежа анализируемого существительного орфографическим правилом:
После шипящих в окончаниях и суффиксах существительных и прилагательных под ударением пишется буква «о», а без ударения — «е».
Например:
- борюсь с саранчо́й;
- иду со свечо́й;
- наслаждаюсь борщо́м;
- восхищен силачо́м;
- поговорю с циркачо́м;
- о большо́м доме;
- при чужо́м человеке
Сравним:
- обеспокоен надвигающейся ту́чей;
- иду с саквоя́жем;
- разрушен сме́рчем;
- о колю́чем кустарнике;
- о ме́ньшем размере.
В окончании существительного «монтажом» после шипящего под ударением правильно пишется буква «о».
Самостоятельно заниматься монтажо́м кондиционера не каждому под силу.
Дополнительный материал
Аналогично пишутся с буквой «о» словоформы творительного падежа единственного числа существительных мужского рода с конечным шипящим основы:
- знаком с врачом;
- играет с мечом;
- интересуемся тиражом;
- стеллаж с кирпичом;
- бегут за мячом.