Впервые тема графиков функций и их формул, согласно школьной программе, затрагивается в 7 классе. Буквально каждая тема, изучаемая в 7 и 8 классах, тем или иным образом касается темы различных уравнений. В Общем Государственном Экзамене даже имеется целое задание, суть которого состоит в сопоставлении базовых формул с различными графиками на координатной плоскости.
Решение различных видов функций
Фактически данное задание может быть решено двумя различными способами:
- Первый способ состоит в банальном решении каждой из функций путем подстановки различных переменных, и на основе этого составлении таблицы координат;
- Вторым методом является запоминание уравнений по строению и их примерных изображений.
Важно! Решение данного задания вторым способом на деле не только более надежно, но и сэкономит большое количество времени, которое в дальнейшем можно спокойно потратить на решение более сложных заданий.
Всю подробную информацию о графиках классических функций и их внешнем виде можно найти в данной статье ниже по тексту.
Линейные
Линейные — являются первыми функциями, которые проходятся в школьном курсе математики. Получается, что они представляют собой обычные прямые линии.
Пример: y=4x, y=3x-7, y=5-6x
Для того чтобы построить график линейной функции по правилам математики, достаточно всего двух точек. В первую очередь для примера возьмем уравнение y=-2x+1. Нужно взять 2 не сильно отдаленных друг от друг числа, в нашем случае это будут 2 и -2. Далее нужно построить таблицу: в графу “x” вставить числа, которые мы придумали, а в графу “y” вставить результаты получившихся уравнений (табл.1).
Таблица 1. Координаты точек y=-2x+1
| x | -2 | 2 |
| y | -5 | -3 |
В конечном итоге после построения точек необходимо соединить их прямой линией (рис.1).
Рис. 1. Изображение формулы y=-2x+1
Квадратичные
В функциях такого типа обязательным параметром является возведение x во вторую степень. В общем виде формула выражается уравнением:
[ y;=;ax^2+b ]
Одной из особенностей такого выражения является невозможность появления в третьей и четвертой четверти без дополнительных коэффициентов . В зависимости от наличия дополнительных действий сложения и вычитания, график может быть повернут как вверх, так и вниз. Однако в любом случае он будет представлять собой дугу, которая в математике называется параболой.
Также стоит обратить внимание, что самой нижней точке параболы является так называемая вершина. Находится же она с помощью специальной формулы:
[ x=frac{-b}{2a} ]
Подставив x в формулу параболы, находим значение координаты y.
Для того чтобы построить такой график, необходимо знать как минимум 5 точек — координаты вершины параболы и по 2 точки на каждой из двух дуг. В частном случае, когда а=1, а b=0, имеем формулу y=x2. В этом случае вершину находить нет необходимости, так как она будет находиться в точке отсчета (0; 0) (рис.2).
Рис. 2. Изображение формулы y=x2
Кубические и гиперболы
Кубическими называют уравнения, в которых имеется переменная в третьей степени, чаще всего x3.
[ ;y=ax^3+b ]
При том, что по внешнему виду формула похожа на квадратичную функцию, на деле они имеют совершенно разное строение. В случае квадратичной любое число, даже отрицательное, при возведении во вторую степень становится положительным. Благодаря этому график и имеет симметричную форму, а также всегда только плюсовые значения.
В третьей же степени отрицательные числа, соответственно, могут после всех действий становиться меньше нуля, из-за чего кубический график выглядит следующим образом (рис.3).
Рис. 3. Изображение кубической формулы
Формулы гипербол имеют выражения, в которых любое число делится на x. В общем виде формула выглядит следующим образом: ( y=frac аx+b ). Изображение ее так же, как большинства схожих заданий, строится с помощью 4 точек (риc.4).
Рис. 4. Гиперболические значения ( y=frac аx+b )
Подкоренные выражения
В общем виде данные уравнения выражаются как ( y=asqrt x+b ). Особенность графиков данного вида заключается в полном отсутствии каких-либо значений в третьей и четвертой четвертях координатной плоскости.
Важно! Такой феномен можно наблюдать благодаря тому, что под корнем не может быть отрицательное число (рис.5).
Рис. 5. Изображение подкоренного выражения
Тригонометрические функции и их особенности
Отдельной темой представлены тригонометрические графики. Так, фактически уравнения синуса и косинуса являются четными, непрерывными волнами. На рис.6 функция y = sin x изображена синим цветом, а y = cos x — красным.
Рис. 6. График функций y = sin x и y = cos x
Период такой функции, то есть момент, за который функция проходит полный круг и возвращается в исходную точку, равен ( 2mathrmpi ).
Тангенс и котангенс также имеют свои графики и по сути являются линиями пересечения выражений синуса и косинуса. На рисунке 7, что представлен ниже, график y = tg x синего цвета, а функции y = ctg x, соответственно, красного.
Рис. 7. Графики функций y = tg x и y = ctg x
Выучив все виды функций, можно легко увеличить средний балл за абсолютно любой тест порой на целых 3-4 единицы. Это может повлиять не просто на итоговую оценку, а даже на поступление в университет.
