Формулы сокращенного умножения (ФСУ) — раздел алгебры, который используется с целью упрощения решения выражений. В этой статье мы поговорим об основных особенностях применения ФСУ, а также дадим вывод этих формул. Довольно часто, причем не самые слабые ученики, при знакомстве с этой темой выносят для себя впечатление о ФСУ, как о чем-то сложном. Однако это не так, и в нашей статье мы это докажем. Ведь по самому названию — формулы сокращенного умножения, можно понять, что математики пытаются облегчить жизнь, сократить усилия и уменьшить время, которое потребуется на ту или иную операцию.
Формулы
Первые упоминания о ФСУ мы встречаем во времена древнегреческих математиков. Так, тождества встречаются в работах Евклида, известного автора работ, посвященных геометрии. В его “Началах» есть практическое обоснование и доказательство одного из тождеств ФСУ. Вот так выглядят все ФСУ:
Рассмотрим несколько примеров:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
Важно! Будьте внимательны при запоминании формул. Рекомендуется выучить всю таблицу наизусть.
Первая формула Возьмем сначала первую формулу. Что такое (a + b)2 ? Это выражение (а+b), умноженное само на себя:
(а+b)(а+b)
Дальше весь вывод состоит, фактически, в простом раскрытии скобок:
(а + b)(а + b)= a2 + аb + аb + b2
Важно! Надо обратить внимание на то, что при раскрытии скобок мы перемножаем b на а (два раза), но записываем и в первом, и во втором случае как аb, так как от перемены мест множителей произведение не меняется.
Приглядевшись к тому , что у нас получилось, мы заметим, что аb встречается два раза. Теперь осуществим задачу, которая называется приведением подобных членов. Напомним, что подобные члены — это переменные, которые встречаются в одном и том же выражении несколько раз:
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Первая формула выведена. Теперь вторая:
(a — b)2=(a — b)(a — b)
Также, как и в первый раз, мы раскрываем скобки:
(a — b)(a — b)=a2 — ab — ab + b2=a2 — 2ab + b2
Запомнить очень просто, как оказывается на практике. При раскрытии скобок видно, что отличие первой от второй формулы в одном знаке, перед 2аb:
(a + b)(a — b)=a2 + ab — ab — b2=a2 — b2
Выражения ab и -ab сокращаются и остается тождество, которое у нас получилось. По такому же принципу решаются и формулы для кубов.
Использование ФСУ
А сейчас, используя ФСУ (простейшие из них), мы выведем несколько широко известных и довольно часто применяемых неравенств:
a2 + b2 ≥ 2ab
Это неравенство получается из формулы (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 Так как квадрат любого выражения НЕ может быть меньше нуля, то это выражение должно быть больше или равно 0:
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 ≥ 0
В неравенствах, как и в уравнениях мы можем прибавить к их обеим частям одно и то же число, и неравенство от этого не потеряет свой смысл. Например, если к верному неравенству 5 больше 3 прибавить число 10, то 5 больше или равно 3 превратится в 15 больше или равно 13, то есть останется верным. Так и в случае нашего доказательства можно прибавить к обеим частям 2аb, другими словами, перенести 2аb из левой части в правую с переменой знака. В левой части 2аb исчезнет, останется a2 + b2, в правой — к нулю прибавится 2аb и останется неравенство a2 + b2 ≥ 2ab При кажущейся простоте и очевидности вывода это неравенство широко известно и очень часто используется. А сейчас выведем еще одно неравенство, которое является прямым следствием предыдущего:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
Это можно доказать следующим способом:
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 + c2 ≥ 2ac
b2 + c2 ≥ 2bc
Сложение
Эти три неравенства мы можем сложить. Если сложить между собой левую и правую часть неравенства, то знак между ними останется прежним:
a2 + b2 ≥ 2ab
a2 + c2 ≥ 2ac
b2 + c2 ≥ 2bc
2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc
Сокращение
Также мы имеем право сокращать неравенства, то есть делить обе его части на одно и то же положительное число, от этого оно не перестает быть справедливым:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
В нашем неравенстве сокращается число 2, и остается неравенство, которое требовалось доказать.
Вывод новых алгебраических соотношений
Есть также еще одно, менее известное. Его нам кажется уместным здесь упомянуть как образец применения ФСУ для вывода новых алгебраических соотношений, а именно
a + b ≥ 1 ⇒ a4 + b4 ≥ 1/8
Довольно неочевидное следствие, особенно для неподготовленного человека. Возведем в квадрат обе части неравенства (при положительных значениях обеих частей мы имеем право это делать):
a2 + 2ab + b2 ≥ 1
a2 — 2ab + b2 ≥ 0
Складываем эти два неравенства почленно:
2a2 + 2b2 ≥ 1
И разделим обе части на 2:
a2+b2 ≥ 1/2
Возведем обе части в квадрат:
a4 + 2a2b2 + b4 ≥ 1/4
a4 — 2a2b2 + b4 ≥ 0
2a4 + 2b4 ≥ 1/4
Разделим обе части на 2 и получаем искомое неравенство:
a4 + b4 ≥ 1/8
ФСУ и бином Ньютона
Формула квадрата разности является частным случаем формулы бинома Ньютона. Исходная ситуация, в которой нам приходится применять бином Ньютона, и собственно формула, которая позволяет нам раскрывать n-ное количество скобок. То есть, в общем случае:
(а+b)n
Эта формула дает нам ответ на вопрос, чему равно произведение n-ного количества скобок (n — натуральная степень). Владея этим аппаратом, вы можете расписать выражение в виде некоторого количества слагаемых, которое получается в результате перемножения скобок такого типа n раз на себя.
Примеры решения
Теперь приведем несколько примеров на использование формул сокращенного умножения:
Итак, в этой статье мы ознакомились с историей формул сокращенного умножения, их применением, вывели основные тождества ФСУ. Этот важный аспект алгебры играет важную роль в преобразовании выражений, да и попросту экономит ваше время. Как запомнить все формулы и правильно применять другие варианты ФСУ на практике, смотрите в этом видео.
