Арифметическая прогрессия — формулы нахождения суммы, разности, произведения

Математика является сложной наукой, состоящей более чем из сотни различных разделов, таких как стереометрия, геометрия, тригонометрия. Однако на протяжении первых 9 лет, согласно российской школьной программе, в школах изучается Евклидова математика и геометрия. Так, из-за большого количества материала, а также порой не самой лучшей подачи, некоторые темы могут не до конца пониматься школьниками, а другие — вовсе пропускаться и забываться сразу после окончания обучения. В большинстве случаев именно такой темой являются различные прогрессии.

Виды

Всего они бывают двух типов:

  • Арифметические;
  • Геометрические.

Арифметической — называют некоторую последовательность чисел, в которой каждое прошлое число больше или меньше предыдущего на какое-то определенное значение.

Арифметическая прогрессия — формулы нахождения суммы, разности, произведения

 

Рис. 1. Определение арифметической прогрессии

Пример: 2, 5, 8, 11

Всего арифметические прогрессии бывают двух типов: возрастающие и убывающие. Чтобы собственно увидеть различия между ними и понять, чем они отличаются, необходимо изучить базовую формулу и разобрать каждую из переменных.

Нахождение n-го члена

В общем виде формула по нахождению любого члена прогрессии выглядит следующим образом:

an = a1 + d (n — 1)

В данном уравнении всего можно заметить 3 переменные, зная 2 из которых, можно достаточно просто решить выражение:

  • n — порядковый номер того члена, который необходимо найти. Обычно данный показатель сразу указан в “Дано” задачи.
  • a1— первый член числового ряда. Так, в случае с прогрессией 3, 5, 7, 9, за a1 нужно будет взять “3”.
  • d — число, на которое каждое следующее больше или меньше предыдущего. Соответственно — для того чтобы узнать данную переменную, можно из последующего вычесть предыдущее. Если d>0, то функция является возрастающей, и каждый последующий элемент будет больше предыдущего. В случае если d<0, наоборот, следующее значение меньше прошедшего.

В типовой задаче заранее указаны несколько первых чисел ряда, с помощью которых можно найти какой-либо определенный пункт.

Арифметическая прогрессия — формулы нахождения суммы, разности, произведения

Рис. 2. Формулы арифметической прогрессии

Реже можно повстречать обратные задачи, в которых даны 5 или 6 число в прогрессии, а также разность между двумя ближайшими числами. В результате — ученикам нужно найти первый пункт числового ряда. Такие примеры встречаются гораздо реже, а для их решения существует отдельная формула:

an = a1 — d (n — 1)

Как найти сумму?

Столь же часто на экзаменах можно встретить задания, смыслом которых является нахождение суммы определенной длины прогрессии, начиная с первого. Решение таких упражнений происходит с помощью формулы:

Арифметическая прогрессия — формулы нахождения суммы, разности, произведения

С помощью данной формулы, зная первые и последние цифры в необходимом диапазоне, можно узнать сумму всех пунктов числового ряда. А так как совершенно любой из пунктов можно столь же просто найти, получается, что для нахождения суммы абсолютно любой прогрессии нужно только знать первые 2 ее элемента.

Задания на данную тему можно встретить как в Основном государственном экзамене (ОГЭ), так и в Едином государственном экзамен (ЕГЭ). Чтобы не потерять драгоценные баллы, не лишним будет повторное изучение материала и решение нескольких типовых заданий, связанных с числовыми рядами.

Больше наглядных примеров решений по этой теме смотрите в предложенном видео.

Беликова Ирина

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта "Образование".

Оцените автора
Добавить комментарий

  1. Fez

    В определении арифметической прогрессии ошибка. 4,9, 14, 19, 24 (а не 25)

    Ответить
    1. Беликова Ирина автор

      Здравствуйте! Исправили. Спасибо!

      Ответить
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector