Арифметическая прогрессия — формулы нахождения суммы, разности, произведения

Математика является сложной наукой, состоящей более чем из сотни различных разделов, таких как стереометрия, геометрия, тригонометрия. Однако на протяжении первых 9 лет, согласно российской школьной программе, в школах изучается Евклидова математика и геометрия. Так, из-за большого количества материала, а также порой не самой лучшей подачи, некоторые темы могут не до конца пониматься школьниками, а другие — вовсе пропускаться и забываться сразу после окончания обучения. В большинстве случаев именно такой темой являются различные прогрессии.

Виды

Всего они бывают двух типов:

• Арифметические;
• Геометрические.

Арифметической — называют некоторую последовательность чисел, в которой каждое прошлое число больше или меньше предыдущего на какое-то определенное значение.

Рис. 1. Определение арифметической прогрессии

Пример: 2, 5, 8, 11

Всего арифметические прогрессии бывают двух типов: возрастающие и убывающие. Чтобы собственно увидеть различия между ними и понять, чем они отличаются, необходимо изучить базовую формулу и разобрать каждую из переменных.

Нахождение n-го члена

В общем виде формула по нахождению любого члена прогрессии выглядит следующим образом:

an = a1 + d (n — 1)

В данном уравнении всего можно заметить 3 переменные, зная 2 из которых, можно достаточно просто решить выражение:

• n — порядковый номер того члена, который необходимо найти. Обычно данный показатель сразу указан в “Дано” задачи.
• a1— первый член числового ряда. Так, в случае с прогрессией 3, 5, 7, 9, за a1 нужно будет взять “3”.
• d — число, на которое каждое следующее больше или меньше предыдущего. Соответственно — для того чтобы узнать данную переменную, можно из последующего вычесть предыдущее. Если d>0, то функция является возрастающей, и каждый последующий элемент будет больше предыдущего. В случае если d<0, наоборот, следующее значение меньше прошедшего.

В типовой задаче заранее указаны несколько первых чисел ряда, с помощью которых можно найти какой-либо определенный пункт.

Рис. 2. Формулы арифметической прогрессии

Реже можно повстречать обратные задачи, в которых даны 5 или 6 число в прогрессии, а также разность между двумя ближайшими числами. В результате — ученикам нужно найти первый пункт числового ряда. Такие примеры встречаются гораздо реже, а для их решения существует отдельная формула:

an = a1 — d (n — 1)

Как найти сумму?

Столь же часто на экзаменах можно встретить задания, смыслом которых является нахождение суммы определенной длины прогрессии, начиная с первого. Решение таких упражнений происходит с помощью формулы:

С помощью данной формулы, зная первые и последние цифры в необходимом диапазоне, можно узнать сумму всех пунктов числового ряда. А так как совершенно любой из пунктов можно столь же просто найти, получается, что для нахождения суммы абсолютно любой прогрессии нужно только знать первые 2 ее элемента.

Задания на данную тему можно встретить как в Основном государственном экзамене (ОГЭ), так и в Едином государственном экзамен (ЕГЭ). Чтобы не потерять драгоценные баллы, не лишним будет повторное изучение материала и решение нескольких типовых заданий, связанных с числовыми рядами.

Больше наглядных примеров решений по этой теме смотрите в предложенном видео.