Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для казалось бы сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.
Треугольник и его характеризующие отрезки
Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от углов треугольники делятся на:
- Остроугольные
- Тупоугольные
- Прямоугольные
Рис. 1. Виды треугольников
Основными характеризующими отрезками треугольника являются:
- Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
- Биссектриса – отрезок, делящий угол пополам
- Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
Рис. 2. Высота, медиана и биссектриса в треугольнике
Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.
Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:
- Серединный перпендикуляр – высота восстановленная из середины высоты. Как правило серединный перпендикуляр продолжается до пересечения с другой стороной.
- Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
- Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.
- Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все стороны треугольника.
Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо – любая пара сторон в треугольнике является смежной.
Свойство средней линии
Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.
Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:
- Средняя линия равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
- Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в прошлом свойстве.
- Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
- Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5
Рис. 3. Средние линии в треугольнике
Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:
$m=1over{2}*a$- где m – средняя линия, а- сторона противоположная средней линии.
Что мы узнали?
Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили о особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник. Все эти свойства используются при решении треугольников.
