Относительность механического движения материальной точки

Наряду с законами Ньютона тема относительности движения является одной из важнейших в курсе классической физики. Инвариантность законов механики позволяет произвольно выбирать инерциальную систему отсчета, что упрощает решение многих задач, особенно задач на вращение тел.

Относительность механического движения материальной точки

Движение относительно

Основные задачи классической механики связаны с инерциальными системами отсчета, то есть такими, в которых материальная точка в отсутствии внешних воздействий находится в покое или ее движение равномерное и прямолинейное.

Человек, присевший на лавочку, находится в покое в системе координат, связанной с домой. Но в другой системе координат придется учитывать вращение земли, тогда человек будет двигаться с ускорением, направленным к центру вращения. Так работает относительность механического движения.

Принцип относительности

Галилей задал следующий вопрос: буду ли разными законы механики при переходе между инерциальными системами координат? Ответим на него. Для этого введем две системы отсчета: неподвижную О(x, y, z) и О’(x’, y’, z’), которая движется вдоль оси Ох равномерно и прямолинейно со скоростью υ.

Относительность механического движения материальной точки

Рис. 1. Галилей.

Вектор ОО’ соединяет начало обеих систем координат. В О (x, y, z) положение точки определяется r, в О’ (x’, y’, z’) – радиус-вектором r’.

$vec{r}={vec{OO’} + vec{r’}}$ – связь координат точки в разных система отсчета.

Но поскольку $vec{OO’}={vec{v}t }$, то:

$$vec{r}={vec{r’} + vec{v}t}$$ (1)

Относительность механического движения материальной точки

Рис. 2. Совмещенные системы координат О и О’.

Производная функции по переменной – это скорость изменения функции. Операция взятия производной называется дифференцированием.

Таким образом, производная функции r по переменной t есть скорость движения материальной точки, то есть быстрота изменения координаты точки. Продифференцировав (1), получаем:

$vec{V}={vec{v’} + vec{v}}$ (2) – закон, по которому производится сложение скоростей.

Суммирование векторных величин выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

Производная скорости по времени – это ускорение. В случае, если движение не равноускоренное, производная скорость равна нуля, что ясно из определения – изменения функции нет, он постоянна. Тогда из (2) получаем:

$vec{а}=vec{а’}$, а значит и $vec{F}=vec{F’}$. Независимо от выбора между инерциальными системами отсчета законы механики будут одинаковым. В этом заключается принцип относительности Галилея. Он является частным случаем принципа относительности Эйнштейна, который говорит, что все законы, а не только законы механики, одинаковы в инерциальных системах отсчета.

Уравнение (1) можно расписать в проекциях:

$$vec{x}={vec{x’} + vec{v}t}$$

$$vec{y}=vec{y’}$$

$$vec{z}=vec{z’}$$

К этим уравнениям обычно дописывают $vec{t}=vec{t’}$

Вместе эти четыре уравнения дают классическое преобразование координат Галилея для прямолинейного движения с постоянной скоростью одной системы отсчета относительно другой.

Задачи

  • Велосипедист движется вдоль трамвайных путей со скоростью υ1. На встречу ему проезжает товарный поезд. Время, в течение которого велосипедист наблюдал поезд, равно t. Длина поезда – L. С какой скоростью двигался поезд?

Решение первой задачи

Согласно закону сложения скоростей получаем:

$vec{V}={vec{v_1} + vec{v}}$ – скорость сближения велосипедиста и поезда.

$vec{r}={(vec{v_1} + vec{v})t}$ – расстояние, которое будет пройдено за t при скорости V. Приравняв к длине поезда, выразим скорость поезда:

$v=frac{L}{t} – {v_1}$ – окончательный ответ.

  • Человеку необходимо переплыть на другую сторону реки по линии, строго перпендикулярной к берегу. Скорость течение – υ1, скорость движения человека – υ2. Под каким углом к перпендикуляру необходимо плыть?

Решение второй задачи

Составим прямоугольный треугольник на векторах υ1 и υ2, которые будут его катетами.

Относительность механического движения материальной точки

Рис. 3. Задача про пловца и реку.

Из него найдем:

$sin alpha=frac{v_2}{v_1}$, тогда $alpha=arcsin frac{v_2}{v_1}$

Что мы узнали?

В ходе урока было выяснено, что всякое движение относительно, а законы механики инварианты, были выведены уравнение, связывающее координаты точки в разных системах координат, закон сложения скоростей и преобразования Галилея.

Беликова Ирина

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта "Образование".

Оцените автора
Добавить комментарий

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector