Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В высшей математике существует понятие матрицы системы чисел. С комбинацией элементов, заключённых в таблице, выполняют различные операции. Прежде чем переходить к решению матриц сложными методами, следует ознакомиться с понятием этого выражения и простейшими логическими операциями над ним.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Понятие выражения

Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.

От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.

Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:

  • a — действительная часть числа;
  • b — мнимая часть;
  • i — мнимая единица (квадратный корень из -1).

На приведенном примере показаны варианты.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:

  • умножение;
  • вычитание;
  • умножение на число;
  • перемножение между собой;
  • транспортирование матриц.

Сложение и вычитание

Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Умножение на число

Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Операция перемножения

Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Возведение в степень

Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

3 этап: в итоге получаем:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Расчёт определителя

В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.

Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.

Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.

Обратная матрица

Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.

Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.

Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.

2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.

При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

3 этап: находят алгебраические дополнения.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

4 этап: определяют транспонированную матрицу.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Итогом будет:

Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.

Нахождение собственных векторов

Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Метод Гаусса

Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:

  • действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
  • произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
  • сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.

Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Следует переписать эту систему в матричный вид:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.

В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.

Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Обращают внимание на последние строки.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.

Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

В итоге получают выражения:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

  • Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
  • В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
  • Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
  • Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
  • Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.
  • Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

    Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

    Беликова Ирина

    Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта "Образование".

    Оцените автора
    Добавить комментарий

    Вставить формулу как
    Блок
    Строка
    Дополнительные настройки
    Цвет формулы
    Цвет текста
    #333333
    Используйте LaTeX для набора формулы
    Предпросмотр
    \({}\)
    Формула не набрана
    Вставить
    Adblock
    detector