Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

Правильное построение графика показательной функции является не такой простой задачей. Рекомендуется выяснить основные ее свойства, а также разобрать применение в жизненных ситуациях. В интернете информация о ней не систематизирована, и нужно выбирать из нескольких источников, а затем проверять. Начинать изучение следует с базовых понятий, после которых переходить к более сложным элементам.

Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

Общие сведения

Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

Функцией называется закон зависимости одной величины от другой. Выражается она при помощи выражений алгебраического, тригонометрического, иррационального и других типов. Существует два типа переменных, которые встречаются в любых функциях: зависимая и независимая. Последняя называется также аргументом.

Основной особенностью показательной функции считается ее вид, поскольку основанием является число, а степенью — аргумент. Последним называется независимая переменная, которая может принимать любые значения, кроме превращающих ее значение в пустое множество или неопределенность. Показательной называется функция вида z (y) = a^y (a > 0), которая зависит от аргумента в виде показателя степени «y».

Сферы использования

Применяется в описании различных законов роста какой-либо величины. В зависимости от показателя, функция может быстро возрастать. Иногда вместо основания «а» может быть указан символ экспоненты, которая стремительно возрастает. Пример показательной функции mc (t) = m0 * (½)^(t/T) используется при подсчете энергии, выделяемой во время деления ядер радиоактивного элемента за время t. Переменные и коэффициенты расшифровываются следующим образом:

Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

  • Масса радиоактивного вещества — зависимая переменная «mc (t)» от аргумента «t».
  • Постоянная «m0» — начальная масса.
  • Значение «Т» — период полураспада радиоактивного элемента.
  • Скорость роста функции можно проиллюстрировать на примере шахматной доски с зернами пшеницы. История гласит, что изобретатель шахмат попросил в награду положить на 1 клетку 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 2 * 2 = 4 и так далее. На последнюю положили 2 63 штуки злаковых зерен. Следует отметить, что на шахматной доске 64 клетки. Решение простое, но результат вычисляется затруднительно, поскольку следует посчитать значение 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 63 .

    Используя формулу геометрической прогрессии Sn = b1 * [(q^n) — 1] / (q — 1), можно без проблем вычислить значение. Первое значение b1 = 1, знаменатель q = 2 3 / 2 2 = 2 2 / 2 = 2 / 1 = 2. Общее число зерен определяется таким образом: S64 = 1 * [(2 64 ) — 1] / (2 — 1) = (2 64 ) — 1. Ученые подсчитали, что такое количество превышает урожай пшеницы на планете за 2008−2009 год в 1800 раз. Если воспользоваться справочником или компьютером, то S64 = 18446744073709551615 — 1 = 18446744073709551614.

    Примеры иллюстрируют применение степенной функции в жизни, поскольку она может описывать явления природы, в которой протекают различные процессы. Например, деление клеток злокачественных опухолей, увеличение количества молекул озона при разрядах молнии и так далее.

    Представление функции

    Математики рекомендуют ознакомиться на начальных этапах с графиком показательной функции и ее свойствами. Графиком называется ее графическое представление в некоторой системе координат. В качестве последней распространена декартовая прямоугольная с двумя осями (ординат — z и абсцисс — y). Оси можно обозначать любыми литерами. Например, в формуле mc (t) = m0 * (½)^(t/T) рекомендуется использовать в качестве ординаты ось «mc», а абсциссой будет время t.

    Необходимо рассмотреть свойства функции, а затем строить ее график. Они различаются между собой, поскольку существует несколько вариантов представления. Для правильного построения и анализа необходимо разобрать все варианты. Это позволит воспользоваться уже готовым материалом и существенно оптимизирует процесс решения задач. Представление функции состоит из свойств и графика.

    Основные свойства

    Свойствами функции z = a^y называется совокупность некоторых характеристик, присущих только ей. Они нужны не только для построения графика, но и для дифференцирования, анализа и интегрирования. Список свойств и полезных соотношений:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

  • Область определения показательной функции D (z): все действительные числа R (-inf;+inf).
  • Множество значений E (z): (0;+inf).
  • Минимальное и максимальное значения отсутствуют.
  • Принадлежит к функциям общего вида, то есть не является четной и нечетной.
  • Периодичность: отсутствует.
  • Пересечение с осью ординат: точка с координатами (0;1).
  • Нулевые значения: отсутствуют.
  • При а > 0 функция возрастает. Когда 0 < a < 1, тогда она будет убывать.
  • На всей D (z) принимает только положительные значения.
  • Неопределенность или пустое множество: 0 0 и y < 0 (при а = 0).
  • Если y принимает отрицательные значения y < 0, то выполняется такое соотношение: a^y = 1 / (a^|y|). Обозначение «|y|» — модуль аргумента, который принимает только положительные значения.
  • a 0 = 1.
  • a^(w + f) = (a^w) * (a^f).
  • (a^w)^f = a^(w * f).
  • (a * b)^y = (a^y) * (b^y).
  • Когда b не равно нулю: (a / b)^y = (a^y) / (b^y).
  • a^(m/n) = [a^m]^(1/n) = [a^(1/n)]^m.
  • Представление через логарифм по основанию «а» (y > 0): a^(log (y)|a) = y.
  • Формула преобразования в функцию с другим основанием «b»: a^y = [b^(log (a)|b)]^y = b^[y * log (a)|b)].
  • Если b = e (экспонента), то показательную функцию можно выразить через натуральный логарифм таким образом: a^y = e^(y * ln (a)).
  • Свойства функции доказываются математическим путем. Они основаны на алгоритмах исследования ее поведения.

    Доказательства некоторых утверждений

    Соотношения необходимы для решения различных задач, основанных на дифференцировании, интегрировании и упрощении выражений. Можно доказать третье свойство, то есть попытаться найти минимум и максимум. Для нахождения экстремумов следует воспользоваться таким алгоритмом:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

  • Найти производную: [a^y]’ = a^y * ln (a).
  • Производная существует во всех точках, кроме следующих: при x = 0 (a = 0), x < 0 (а = 0) и a > 0.
  • Поиск стационарных точек [a^y]’ = 0: a^y * ln (a) = 0. Решений нет, поскольку a^y не может принимать нулевое значение.
  • Вывод: минимального и максимального значений нет вообще.
  • Проверка на четность осуществляется по соотношению z (-y) = z (y) таким образом: a^(-y) = 1 / |a^y|. Правая часть тождества не соответствует левой. Значит можно сделать вывод, что z (y) не является четной. Чтобы проверить на нечетность, следует воспользоваться равенством z (-y) = -z (y). Подставив значение «-у», получается следующее: a^(-y) = 1 / |a^y|. Следовательно, функция принадлежит к общему виду, то есть правилам четности и нечетности она не подчиняется.

    Точка пересечения с осью ординат рассчитывается таким образом: решается уравнение z = a^y относительно y, принимающего нулевое значение: z = a 0 = 1. Искомая точка имеет координаты (0;1).

    Построение графиков

    Для построения графиков следует рассмотреть два случая, при которых a > 0 (рис. 1) и 0 < a < 1 (рис. 2). Кроме того, можно для сравнения построить частные примеры со следующими условиями:

  • a < 0 и x > 0 (рис. 3).
  • a = 0 и x > 0 (рис. 4).
  • a = 1 и x > 0 (рис. 5).
  • Для построения графика существуют свои правила, которых рекомендуют придерживаться математики. Процедура осуществляется в двух режимах: схематическом и точном. В первом случае нужно знать свойства. Таблица зависимостей значения от аргумента не составляется. При точном построении необходимо составить таблицу. В ней необходимо рассмотреть около 5-10 значений независимой переменной. Затем все точки отмечаются на декартовой системе координат и плавно соединяются.

    Оформление играет очень важную роль, поскольку не допускаются исправления. Очень важно соблюдать масштаб, и не отмечать каждое значение шкалы делений на оси абсцисс и ординат. Следует учитывать, что графики чертят также в двух режимах: автоматизированном и ручном. В первом случае применяются специализированные программы и веб-приложения (онлайн-калькуляторы). В последнем необходимо чертить карандашом, используя линейку. Этот момент очень важен, поскольку приучает к дисциплине на уроках, а также повышает читабельность материала. Для примера нужно начертить график z = 2^y. Необходимо составить таблицу 1:

    z 0,3 0,5 1 2 4 8
    у -2 -1 0 1 2 3

    Таблица 1. Зависимость значения от аргумента (z = 2^y).

    По таблице нужно построить график, отмечая координаты каждой из точек. После этого нужно плавно их соединить. Должен получиться примерно такой график:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Рисунок 1. График z = 2^y (a > 0 и y > 0).

    Если рассмотреть пример, в котором y > 0 и 0 < a < 1, то графическое изображение (рис. 2) будет немного другим:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Рисунок 2. График при 0 < a < 1.

    При a < 0 и x > 0 график также существенно изменится, поскольку будет постоянно убывать:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Рисунок 3. Графическая иллюстрация при a < 0 и x > 0.

    Когда основание равно 0, тогда функция перестает быть показательной, поскольку не соблюдается условие из определения. На рисунке 4 представлен ее график:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Рисунок 4. Графическое представление при a = 0 и x > 0.

    Последний случай — основание равно 1. Функция также не является показательной.

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Рисунок 5. График при a = 1 и x > 0.

    Кроме того, встречаются задачи не только на построение графика, но и на осуществление операций дифференцирования, нахождения производной и первообразной.

    Правила дифференцирования

    В некоторых задачах следует найти производную или дифференциал степенной функции. Для осуществления этой операции существует определенный алгоритм, который специалисты рекомендуют рассмотреть на конкретном примере. Условие задачи следующее: найти дифференциал z = 4^(6y). Для его нахождения нужно предпринять такие шаги:

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

  • Выразить через основание «e»: 4 = e^(ln4).
  • Подставить в исходную функцию (следует воспользоваться 20 свойством): z = 4^(6y) = e^[ln(4 * 6 * y] = e^[6ln(4y)].
  • Ввести новую переменную t = [6ln(4y)]: z = e^t.
  • Воспользовавшись таблицей производных, найти значение функции в третьем пункте: z’ = [e^t]’ = e^t.
  • Дифференциал находится по такой формуле: dz / dy = (dz / dt) * (dt / dy) = (e^t) * 6ln(4) = [4^(6y)] * 6ln(4).
  • Необходимо отметить, что производная берется из таблицы простейших (элементарных) функций. Когда выражение является сложным, как в примере, то дифференциал ищется по частям. Формула для сложного выражения имеет такой вид: [w(y(z(x)))]’ = [z(x)]’ * [y(z(x))]’ * [w(y(z(x)))]’. Соотношение трудно понять, но на примере все довольно просто. Например, нужно найти производную z = e^(2cos(2x^2 + 1)). Функция состоит из трех элементов: f = 2x^2 + 1, y = 2cos(f) и v = e^y.

    Следует воспользоваться формулой и вычислить производную каждого элемента: z’ = [e^(2cos(2x^2 + 1))]’ = 2[2x^2 + 1]’ * [cos(f)]’ * [e^y]’ = 8x * (-sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)). Результат следует оставить в таком виде, поскольку подобных слагаемых нет. Однако математики рекомендуют выносить минус в начало выражения: z’ = -8x * (sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)).

    Поиск первообразных

    Отдельным классом задач является интегрирование или нахождение первообразных. Для этой цели применяются специальные таблицы интегралов простейших функций. Кроме того, можно воспользоваться и табличными значениями производных. Они позволяют найти искомое первообразное выражение. Интегрирование считается обратной операцией и позволяет найти тождество, из которого была получена производная.

    Показательная функция определение, свойства, особенности построения графиков убывающей и возрастающей функций, область определения и применения, формулы, примеры решения

    Для нахождения интеграла a^y следует воспользоваться такой формулой: ∫(a^y)dy = ∫(e^(ln(a * y))dy = [1 / ln(a)] * ∫(e^(ln(a * y))d(ln(a * y) = [1 / ln(a)] * (e^(ln(a * y)) + C = [1 / ln(a)] * (a^y) + C. Коэффициент «С» — константа, которая при дифференцировании исчезает. Однако ее необходимо учитывать. Кроме того, необходимо постоянно следить за знаком интеграла и переменной, по которой находится первообразная.

    Таким образом, для решения задач со степенной функцией нужно пользоваться свойствами и алгоритмами, поскольку это существенно сэкономит время и избавит от множества ошибок.

    Беликова Ирина

    Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта "Образование".

    Оцените автора
    Добавить комментарий

    Вставить формулу как
    Блок
    Строка
    Дополнительные настройки
    Цвет формулы
    Цвет текста
    #333333
    Используйте LaTeX для набора формулы
    Предпросмотр
    \({}\)
    Формула не набрана
    Вставить
    Adblock
    detector