Точная наука математика (в переводе с древнего греческого обозначает «предмет обучения») включает целый ряд дисциплин, издавна достаточно изученных, развивающихся и появившихся недавно. «Кто овладел творениями Архимеда, будет меньше удивляться открытиям самых великих людей нашего времени» – так написал Г.В. Лейбниц, что актуально и сегодня. При штудировании раздела математики степенные функции, как и остальных тем, разбираются изначально более простые объекты, постепенно переходят к сложным, не оставляя непонятного.
Что это такое? Основные понятия и определения
Азы алгебраического анализа математики станут пошагово яснее с помощью основных первичных понятий, определений, правил. Так на Рис.1 отображены термины и обозначения (понятийные ключи) направлений при переходе от «Начало» к исследованию функций для переменных в алгебре, к другим разделам царицы наук.
Рис.1
Обучение начинается от простых математических терминов – изначальных определений:
-
Переменная – символ в математике, свободная величина (аргумент функции), может принимать любое из ряда значений фиксированной области (вес зависит от возраста теленка, x в алгебре);
-
Функция – соответствие (зависимость) между «связанными» изменяемыми элементами; каждое значение зависимой функции определяется конкретной независимой величиной (переменной). Или же это формула, отображающая здравый смысл зависимости переменных (в математике обозначается y= f(x));
-
Степень – для общего случая, какая-либо мера в сравнении, в алгебре – это выражение, служащее для упрощения многократного умножения основания x (числа, переменной, функции ) на самое себя (пример обозначения: x^2). Количество одинаковых множителей называется показателем степени. В алгебре показатели степени могут быть целыми (четными и нечетными), дробными и иррациональными;
-
Иррациональное число представляют как непериодическую бесконечную десятичную дробь (число = 3,1415926535…);
-
Производная – тоже функция (вторичная), образованная от первичной, обозначается Y= f’(x) (как скоростная характеристика движения, как угол наклона касательной к линии);
-
Степенная функция – это функциональная зависимость вида f(x)=. Например, кубическая (объем) функционально зависит от длины ребра куба (x), его третьей степени (y=).
Виды, свойства и область определения
Разделяют зависимости (f(x)) на простые (элементарные) и сложные. Степенная функция относится к ряду элементарных.
Рис.2
По показателю степени (характеристике числа) определяются присущие свойства степенной функции. На Рис.2 приведена классификация множества вещественных чисел. Собственно вид построения функционального степенного графика с целым натуральным или отрицательным показателем зависит как от знака, так и от четности числа показателя. Частных случаев действительных чисел (типовых) в показателе степени насчитывается более десятка.
Для сложных соответствий присуще применение к переменной нескольких функциональных «воздействий», при этом получается, как будто новая функция берется от другой «функции-аргумента». При фиксировании функциональных зависимостей используются следующие способы:
-
Табличный (значения «икса» в соответствии с «игреком» для заданной f (x));
-
Алгебраический («формулы»);
-
Графический;
-
Словесный.
Функция с целым плюсовым показателем степени при четном n будет четной, а при нечетном n – нечетной. Множество величин переменных относится в свойствах зависимостей к области определения (как определяется совокупность аргументов x). Величины допустимых итогов функции (y) на определенных участках фиксируются как диапазон значений.
Линейную зависимость общего вида y = kx + b можно считать степенной с показателем степени n=1. Если n=0, x≠0 (т.к. ноль в нулевой степени не определено), то функция становится константой-единицей. Особенность функций с 2k целым минусовым показателем – симметричность около оси ординат, четность. Для функций с целым 2k-1 показателем < 0 – симметричность относительно координатной точки 0, нечетность.
При исследовании и характеристике простых степенных функций придерживаются следующих описаний свойств, приведенных на Рис.3.
Рис.3
Правила при работе со степенями чисел с вещественными числами-показателями «наследуются» также для вычислений функциональных зависимостей:
