Независимо от того, в каком классе проходят уроки алгебры – математическом или обычном – квадратное уравнение изучается почти сразу после освоения всех видов своего простого линейного аналога, будучи «следующим уровнем сложности». Вычисление и поиск верного ответа не представляют трудностей, достаточно запомнить алгоритм решения и следовать ему.
Наравне с выражениями с комплексными числами и функциями с двумя переменными, алгебра поначалу заставит ученика изрядно поломать голову вне зависимости от возраста и склада ума.
Отчаявшиеся понять данный раздел науки могут использовать решебник и онлайн-калькулятор, выкладываемые в интернете от разных авторов в различном оформлении — на вкус читателя.
Примеры с переменной в квадрате – хорошие задания для тренировки навыков счета. В математических дисциплинах квадратное уравнение нередко выступает промежуточным шагом к доказательству теорем.
- Дискриминант
- Корни квадратного уравнения
- Полное и неполное квадратное уравнение
- Решение квадратных уравнений
- Стандартный алгоритм решения через дискриминант
- Теорема Виета
- График квадратного уравнения
- Квадратные уравнения – примеры и подробные решения
- Полное решение с двумя числами
- Единственный корень в уравнении
- Отсутствие целевых точек
- Как решать систему уравнений с квадратами
Дискриминант
Изучаемое выражение имеет стандартный вид:
ax2 + bx + c = 0
Все три слагаемых имеют коэффициенты, способные принимать любые значения, но при переменной в квадрате он не должен равняться 0, иначе уравнение перестает быть квадратным.
Например, уравнение 2×2 + 2 = 0 идентично выражению 2×2 + 0x + 2 = 0.
Части равенства справа от знака равенства переносятся влево с противоположным знаком:
6×2 = 8x — 4
6×2 — 8x + 4 = 0
Разобрать квадратное уравнение поможет дискриминант (D). Этот вспомогательный показатель через сложные расчеты позволит найти корни выражения или обнаружить невозможность решения.
Вывод формулы выполняется благодаря манипуляции с числовыми показателями:
D = b2 — 4ac
Например, в выражении 5×2 — 7x + 2 = 0
D равен: (-7)2 — 4*5*2 = 49 — 40 = 9.
Определение дискриминанта подскажет количество корней:
-
D>0: два корня;
-
D=0: один корень;
-
D<0: нет решения.
Связано это с тем, что в процессе решения дискриминант придется возводить под квадратный корень — √(D) – а отрицательные числа из него не выводятся.
Корни квадратного уравнения
Завершающий шаг – вывод ответов путем вычислений. Как решить уравнение – зависит от количества корней.
1. Если ответа 2, их нахождение выполнится через формулы:
2. Когда корень один, дискриминант уже не нужен (ведь √(0) = 0), и решать головоломку проще:
3. В случае, когда решения нет, вычислять ничего не нужно.
Далеко не все способы требуют долгих расчетов. Ученым-математиком из Франции Франсуа Виетом была выведена закономерность, раскрывающая удивительные свойства (коэффициентов):
Уникальна теорема Виета тем, что под ее определение подходят уравнения — приведенные там, где множитель при x2 равен 1.
Например:
-
x2 — 3x + 4 = 0 – приведенное;
-
2×2 — x + 1 = 0 – неприведенное.
Сумма корней равна –b, ведь сложение x1 и x2 приводит к такому ответу:
Произведение обоих ответов происходит по аналогичному принципу:
Способы решения заданий с переменными в квадрате не являются специфическими – даже неприведенные выражения можно решить данной теоремой.
Как пример: 2×2 — 6x + 9 = 0 при делении на коэффициент при x2 (а=2) примет вид x2 — 3x + 4,5 = 0 – и вполне годится для решения методикой французского ученого.
Другой метод того, как решать вариант с а≠1 – делить на a сумму и произведение корней:
2×2-5x+2=0
х1+ х2=5/2 =2,5
х1* х2=2/2 = 1
х1=2, х2=0,5.
Полное и неполное квадратное уравнение
Выражение ax2 + bx + c = 0 считается полным, если содержит все три коэффициента. Если есть слагаемые, равные 0, оно становится неполным.
Неполное квадратное уравнение решается гораздо легче своего полного аналога. Нахождение корней не вызывает трудностей и предполагает свои особенности в поиске ответа.
Самый простой способ – разложение на множители.
2×2 — 5 x = 0 — неполное, так как с = 0.
x*(2x — 5) = 0
х1 = 0
2x — 5 = 0
х2 = 2,5.
Когда отсутствует bx, отыскать ответ еще легче:
x2 — 9 = 0 (здесь b = 0)
(x+3)*(x-3) = 0
или: x2 = 9
х1 = 3, х2 = -3.
Решение квадратных уравнений
Способы решения разнообразны. Состав слагаемых определяет, как находить верный ответ.
Самые легкие – разложение на множители.
Пример:
x2 + 3x — 28 = 0.
Достаточно решить, что 28 = (-4)*7, а 3х = 7х — 4х;
Многочлен x2 + 7x — 4x — 28 = 0 можно представить в виде (x + 7)(x — 4) = 0;
Только два значения способны выполнить условие равенства: -7 и 4.
Вариант сложнее – вывод формулы полного квадрата:
4×2 + 8x + 4 — 4 — 32 = 0
Из 4×2 + 8x возможен многочлен 4×2 + 8x + 4, способный превратиться в (2x + 2)2
Сформировать 4×2 + 8x — 32 = 0 в более компактный вид:
4×2 + 8x +4 — 4 — 32 = 0
(2x + 2)2 — 36 = 0
Cвободное число переходит в правую часть:
Но не все уравнения удается преобразовать в удобную версию. Самые распространенные способы:
Стандартный алгоритм решения через дискриминант
2×2 + 5x — 3 = 0
Найти D:
D = 52 — 4∗2∗(-3) = 25 + 24 = 49
Вычислить корни
Теорема Виета
2×2 + 5x — 3 =0
Из суммы корней и произведения образовать пропорцию
Нахождение ответов подбором и подсчетом:
-3 + 0,5 = -2,5
-3∗0,5 = -1,5
Помимо рядовых вычислений, алгебра предусматривает графический путь – минимум расчетов и чертежи на геометрической плоскости (системе координат).
График квадратного уравнения
В отличие от рассмотренных выше вариантов, построение графика позволит наглядно решить уравнение. Здесь оно предстает в виде системы двух функций – выражений с двумя переменными.
Стандартная формула ax2 + bx + c = 0 принимает иной вид:
или ax2 = -bx -c.
Общие точки параболы и линии станут ответами на задачу.
Квадратные уравнения – примеры и подробные решения
Нахождение ответа через стандартный алгоритм с дискриминантом и ее оформление в приведенное выражение уже рассмотрены, лишь графический метод нуждается в подробном рассмотрении – наглядном свидетельстве либо наличия корней, либо отсутствия оных.
Полное решение с двумя числами
Равенство x2 + 2x — 3 = 0 аналогично удобному для графика аналогу x2 = -2x + 3
На плоскость наносится система двух функций:
Пересечения графиков на точках [1;1] и [-3;9] являются решением задачи. Если нужны были данные по переменной x, воспользоваться нужно ими.
Ответ: 1 и -3.
Единственный корень в уравнении
Подобно примеру выше, выражение 3×2 + 6x + 3 = 0 преобразуется в систему:
Здесь только 1 точка касается обоих графиков – [-1;3]. Координата x – корень уравнения.
Ответ: х = 1.
Отсутствие целевых точек
Уравнение и система
на координатной плоскости не располагают общими отметками.
Как решать случай с несовпадением графиков? Это невозможно.
Ответ: нет корней.
Как решать систему уравнений с квадратами
Квадратные уравнения с двумя переменными нередко предстают в виде системы. Их решение потребует больше усилий и времени, но нахождение ответа все еще возможно.
Первый метод уже рассмотрен в разделе выше – графический. Процесс неизменен:
Разбить уравнения на более простые.
Составить функцию с каждым на общей системе координат.
Точки пересечения станут корнями уравнения.
Второй способ – подстановка одного выражения в другое:
К системе подходит следующий алгоритм решения:
1. Представить одну переменную в составе другой:
2. Подставить выраженную переменную x в другое выражение:
3. Решить выражение как обычное квадратное уравнение:
Комбинация ответов занимает много места – дискриминант не всегда удается вывести из-под знака корня:
Третий способ – введение новых переменных. Актуален, когда подстановка займет много времени и поможет упросить вывод формулы.
Обозначить новые переменные:
Использовать их в решении, заменив ими неудобные множители:
Итог – два набора данных
или
Продолжить «расшифровку» с полученными парами чисел, создав и решив стандартное уравнение.
Первый вариант:
Здесь на выходе две подсистемы.
Второй вариант:
Корни при данном раскладе отсутствуют. Решение – первая подборка.
Ответ: х1 = (1;3), х2 = (3;1).
