В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов.
Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».
Определение эквивалентных функций
Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.
Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если при x1, стремящимся к x2, f(x)~f1(x) и g(x)~g1(x) существует предел:
то существует и предел:
Доказательство
Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:
в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:
при этом:
f(x) ~ f1(x), p(x) ~ p1(x), … , r(x) ~ r1(x), g(x) ~ g1(x), q(x) ~ q1(x), … , s(x) ~ s1(x).
Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.
Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.
Таблица эквивалентных функций
Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0:
| Эквивалентность при t → 0 | Равенство при t → 0 |
| sin t ~ t | sin t = t + 0(t) |
| arsin t ~ t | arsin t = t + 0(t) |
| tg t ~ t | tg t = t + 0(t) |
| artg t ~ t | artg t = t + 0(t) |
| 1-cos t ~
| 1-cos t =
+ 0(t2) |
| et – 1 ~ t | et — 1 = t + 0(t) |
| at – 1 ~ t ln a | at – 1 = t ln a + 0(t) |
| ln (1 + t) ~ t | ln (1 + t) = t + 0(t) |
| loga (1 + t) ~
| loga (1 + t) =
+ 0(t) |
| (1 + t)b — 1 ~ bt | (1 + t)b — 1 = bt + 0(t) |
| sh t ~ t | sh t = t + 0(t) |
| arsh t ~ t | arsh t = t + 0(t) |
| th t ~ t | th t = t + 0(t) |
| arsh t ~ t | arsh t= t + 0(t) |
| ch t – 1 ~ t2/2 | ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2) |
Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?
Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.
В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.
Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций
Для сравнения рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Вычислить
Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда
Пример 2
Найти
Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:
Значит, arcsin x ~ x при x → 0.
Пример 3
Вычислить
Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда
Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.
