Дискриминант квадратного уравнения – это число, характеризующее это уравнение, но ничто в математике не берется из ниоткуда. Дискриминант также получился в результате долгого вывода. Рассмотрим этот вывод, чтобы увеличить понимание тематики квадратных уравнений.
Вывод дискриминанта
Вывод дискриминанта проведем поэтапно. Для начала вспомни общую формулу квадратного уравнения. Именно с ней нам и предстоит работать.
- $ax^2+bx+c=0$ – избавимся от коэффициента при неизвестном со старшей степенью, разделив все выражение на а.
- $x^2+{bover{а}}x+{cover{а}}=0$ –для того, чтобы вывод удался придется провести некоторые специфические манипуляции. Так, на данном этапе, нам нужно домножить числитель и знаменатель скобки ${bover{а}}$ на 2, а также добавить скобку $({b^2over{4a^2}}- {b^2over{4a^2}})$.
Скобка в результате приведения общих множителей даст 0, поэтому смысл выражения не измениться. Именно этот факто дает нам право на введение новых членов.
- $x^2+{{2b}over{2а}}*x+{{b^2}over{4a^2}}- {{b^2}over{4a^2}} +{cover{а}}=0$–Сгруппируем в одной части уравнения $x^2+({2bover{2а}})x+({b^2over{4a^2}})$, если обратить внимание, то можно заметить формулу квадрата суммы, где первым членом будет х, а вторым $bover{2а}$. Именно для создания этой формулы и были добавлены дополнительные члены. Оставшиеся члены перенесем в правую часть уравнения.
- $(x+{bover{2a}})^2=({b^2over{4a^2}}-{cover{а}})$– в правой части подведем дроби под один знаменатель.
- $(x+{bover{2a}})^2={{b^2-4a*c}over{4a^2}}$ – именно числитель правой части и будет являться тем самым загадочным дискриминантом.
- $D= b^2-4a*c$
- $(x+{bover{2a}})^2={Dover{4a^2}}$
- Выведем корни из получившегося выражения.
Нам необходимо извлечь квадратный корень, но подкоренным выражением может являться как положительное, так и отрицательное число.
$$x+{bover{2a}}={{D}over{2a}}$$
$$x= {Dover{2a}}- {bover{2a}}$$
$$x={{D-b}over{2a}}$$
Если под корнем будет отрицательное выражение, то конечный результат нужно записать с минусом:
$$x={{-(D-b)}over{2a}}$$
Вот так и выводится всем привычная формула корней квадратного уравнения.
Ограничения, связанные с дискриминантом
Обозначим, откуда взялось разделение уравнений по количеству действительных корней, связанное с дискриминантом.
Обратим внимание на эту скобку, получившуюся в результате преобразований:
$$(x+{bover{2a}})^2=({Dover{4a}})^2$$
В этом случае, если дискриминант будет являться отрицательным числом, то все выражение в правой части станет отрицательным, тогда число в квадрате будет равняться отрицательному значению. В области действительных чисел это невозможно. Поэтому, если дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
Нет именно действительных корней. Среди комплексных чисел решение найдется и для такого уравнения.
Если же дискриминант будет равен 0, то вся дробь в правой части превращается в ноль, и уравнение будет иметь два одинаковых корня:
$$(x+{bover{2a}})^2={Dover{4a}}^2$$
$$(x+{bover{2a}})^2=0$$
$$x+{bover{2a}}=0$$
$$x=-{bover{2a}}$$
Что мы узнали?
Мы нашли дискриминант квадратного уравнения, подробно разобрав каждое действие вывода формулы. Разобрались, откуда взялись ограничения и вывели формулу корней квадратного уравнения.
