Основой математики являются числовые выражения. В 7 классе они изучаются подробнее, поскольку к ним применяются специальные методики, позволяющие выполнять операции упрощения. Последние используются для оптимизации вычислений при решении задач по различным дисциплинам с физико-математическим уклоном. Однако специалисты рекомендуют изучить теорию, которая поможет избежать множества ошибок при расчетах величин.
Общие сведения
Многие начинающие математики часто путают два понятия: числовые и алгебраические выражения. Между ними существует разница, которая заключается в определениях. Числовое выражение — вид математического тождества, состоящего только из чисел, скобок и знаков арифметических операций. Например, тождество «5+8/3−4*2» является числовым выражением. Оно означает последовательность математических знаков, объединенных в одну логическую цепочку.
Алгебраическим называется совокупность переменных и числовых выражений, имеющих логическое завершение. Объяснение смысла логики выражения имеет такой вид: совокупность чисел и переменных, связанных между собой арифметическими операциями умножения, деления, сложения и вычитания. Например, выражение «5t-2/3» — алгебраическое, поскольку в нем присутствует переменная «t».
Математическим выражением не является набор символов, не имеющий логического завершения. Например, 234±4678++* — обыкновенный ряд, который можно составить из цифр и знаков арифметических операций. Последние имеют следующие обозначения:
Произведение — вид арифметической операции, позволяющей умножить одну величину на другую. Она состоит из трех основных элементов. К ним относятся: I множитель, II множитель и произведение (результат). Математики утверждают, что для сокращения сложения применяется умножение, то есть 3+3+3+3+3+3=3*6=18. Если рассчитать оба выражения, то они будут равными между собой.
Деление — арифметическая операция, используемая для поиска сомножителей искомого числа. Она состоит из следующих обязательных компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — составное значение, второй — один из множителей первого, а частное — результат операции деления.
Сложение — простейшая арифметическая операция, составление которой осуществляется минимум из трех элементов и позволяющая увеличивать искомую величину на определенное значение. Компоненты имеют следующие названия: два слагаемых и результат, который называется суммой.
Вычитание — операция, необходимая для уменьшения искомого числа на заданную величину. Она состоит из трех компонентов: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Первое — числовое значение, от которого отнимается вычитаемое.
Однако у каждой операции есть определенный приоритет.
Приоритет операций
При вычислении математических выражений существует определенный приоритет арифметических операций. Сначала выполняются умножение и деление. Они обладают максимальной величиной приоритета. Иногда для оптимизации вычислений можно выполнять действие над числами или переменными в любой последовательности, то есть пример «2*26/13» можно решить двумя способами:
В первом случае операция займет больше ресурсов: сначала требуется 2 умножить на 26, высчитать результат, а затем его поделить на 13. Это не слишком удобно. Однако для оптимизации вычислений рекомендуется применять второй способ, поскольку особого труда не составляет 26 разделить на 13, а затем результат перемножить с двойкой.
Сложение и вычитание имеют также одинаковый уровень приоритета. Можно сначала для удобства выполнить сложение, а затем вычитание или наоборот. Специалисты рекомендуют руководствоваться важным принципом: вычисления должны быть максимально упрощены. Чтобы задать приоритет какому-либо математическому действию, необходимо взять часть выражения в скобки (сгруппировать). В результате этого первой будет выполняться операция, находящаяся в скобках.
Для примера нужно найти значение выражения: 2*2−2 (3−2)*7/14−25/5. Решать его правильно по такой методике с учетом приоритета:
Если не учитывать приоритет выполнения операций, то найти значение числового выражения можно по такой схеме:
Если сравнить два результата, то они не совпадают. На основании этого можно сделать вывод, что приоритет имеет значение при выполнении вычислений и нарушать его нельзя, поскольку исчезнет логика выражения. Однако не только скобки позволяют установить очередность операций. Существуют некоторые исключения.
Частные случаи или исключения
В алгебре, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, учитывается скорость вычислений. Это существенно влияет на время выполнения какого-либо задания. В некоторых случаях выражение можно упростить, используя формулы сокращенного умножения и выполняя математические преобразования с элементами тождества. Для этих целей рекомендуется пользоваться соответствующими правилами:
Следует отметить, что в первом случае обязательно требуется проверить равенство знаменателя нулевому значению. Для этого следует указать величину переменной, которая не должна превращать знаменатель в 0.
Методика вычисления
Математики разработали специальную методику нахождения значения выражения. Она сводится к разбиению числового выражения на части. Этот подход впервые использовал Пифагор. Суть его состоит в следующем:
Для демонстрации алгоритма необходимо решить пример: 9*7−21 (74/(43+31))/7−64-(27−3*9). Практическая реализация методики имеет следующий вид:
Следует отметить, что этот алгоритм позволяет реализовать принцип «дробления» задания на несколько компонентов. Разбивать тождество можно в произвольном порядке.
Таким образом, для расчета значения числового выражения нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который позволит существенно оптимизировать вычисления.
